Nació en Montevideo el 13 de abril de 1893. Fue el tercer hijo del matrimonio de Camilo Giucci y Luisa Gallo. Inició en su niñez sus estudios de violoncello con el maestro italiano Bassano Mazzuchi.

A partir de la década de 1910, dió sus primeros conciertos en público, presentándose como solista y en compañía de otros músicos. En 1927, dio una gira por el interior del país en compañía del pianista Raúl Gandolfo. Grabó composiciones de Luis Cluzeau Mortet en Alemania.

En paralelo a su dedicación musical, desarrolló una carrera diplomática, que inició en 1912 como auxiliar del Ministerio de Relaciones Exteriores, y lo llevaría a ocupar importantes puestos diplomáticos en Alemania, Estados Unidos, Argentina y Perú. En este sentido, en 1951 fue designado Cónsul General en Alemania Occidental. Así, vivió buena parte de su vida fuera del Uruguay.

En 1924, se casó con María Esther Urta, con quien tuvo dos hijos: Mario y Jorge.

Mario Giucci falleció en Hamburgo el 27 de setiembre de 1956.